ayuda universitaria en matemática 1 : FUNCIÓN EXPONENCIAL

Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente x en el exponente, es decir, son de la forma:

Las características generales de las funciones exponenciales son:

1) El dominio de una función exponencial es R.

2) Su recorrido es (0, +∞) .

3) Son funciones continuas.

4) Como a⁰ = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1).

La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.

5) Como a¹ = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).

6) Si a > 1 la función es creciente.

Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

7) Son siempre concavas.

8) El eje X es una asíntota horizontal.

Si a > 1 :
Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto :
Cuando x → - ∞ , entonces a^x → 0
Si 0 < a < 1 :
Ocurre lo contrario que en el caso anterior :
Cuando x → + ∞ , encontes a^x → 0

EJEMPLOS:

1.Representa gráficamente y di las propiedades de la función g cuya ecuación es g(x) = 3^x+2.

Solución:

Para representar gráficamente esta función:

Determinas su asíntota horizontal: y = 0.

La asíntota horizontal pasa por el valor que está a la derecha de la potencia, en este caso no aparece número alguno.
Calculas su cero:

3^x+2 = 0 (Igualas la ecuación a cero)

Esta ecuación no tiene solución, ya que una potencia de base positiva nunca es igual a cero.

No tiene cero.
Hallas el intercepto de la gráfica con el eje "y":

y = 3⁰⁺² (Sustituyes x por cero en la ecuación)

y = 3² (Efectúas los cálculos indicados)

y = 9

En el sistema de coordenadas trazas la asíntota horizontal, ubicas los puntos hallados y trazas la curva.

2.Sea f una función definida para por la ecuación y = 2^x+2 – 8.

a) Representa gráficamente dicha función en el dominio indicado.

b) Analiza sus signos.

c) Determina su valor máximo y su valor mínimo.

d) Indica su monotonía en el intervalo dado.

Solución a):

Para representar gráficamente la función, debes:

Determinar la asíntota horizontal: y = – 8.
Hallar su cero.
- Para ello, igualas la ecuación a cero y resuelves la ecuación exponencial obtenida.
  
  0 = 2^x+2 – 8
  
  8 = 2^x+2
  
  2³ = 2^x+2
  
  3 = x + 2
  
  x = 3 – 2
  
  x = 1
Hallar la ordenada de cada extremo del intervalo.
- Para x = – 2:
  
  y = 2^–2+2 – 8
  
  y = 2⁰ – 8
  
  y = 1 – 8
  
  y = – 7.
  
  Obtienes el punto de coordenadas (– 2 ; – 7).
- Para x = 2:
  
  y = 2²⁺² – 8
  
  y = 2⁴ – 8
  
  y = 16 – 8
  
  y = 8.
  
  Obtienes el punto de coordenadas (2 ; 8).
Determinar el intercepto con el eje "y".

y = 2⁰⁺² – 8

y = 2² – 8

y = 4 – 8

y = – 4

Solución b)

Recuerda que para analizar los signos se toma como referencia el cero de la función, que hallamos anteriormente.

La función es:
- positiva para:
  
  (La gráfica está por encima del eje "x" entre 1 y 2, incluyendo este último valor)
- negativa para:
  
  (La gráfica está por debajo del eje "x" entre – 2 y 1, incluyendo el primer valor)
  
  Los valores – 2 y 2 se incluyen en cada intervalo, ya que para esos valores la gráfica está por debajo y por encima, respectivamente, del eje "x".

Solución c) Determina su valor máximo y su valor mínimo.

R/ Las funciones exponenciales no tiene mínimo ni máximo en el caso de estar definida para todos los números reales, pero en este caso como está limitado su dominio.
- Valor mínimo: y = – 7 (Se alcanza en x = – 2)
- Valor máximo: y = 8 (Se alcanza en x = 2)

Solución d) Indica su monotonía en el intervalo dado.

R/ Monótona creciente. (La gráfica asciende de izquierda a derecha)

resolución de ecuaciones exponenciales paso a paso

Reescribimos la ecuación

resolución de ecuaciones exponenciales, incógnita en los exponentes de potencias, cambio de base

Por tanto, la ecuación exponencial se reduce a una de primer grado:

algunos problemas:

1.-En 1966 la Comisión Internacional Contra la Captura de Ballenas protegió a la población mundial de ballena azul contra los barcos balleneros. En 1978 se pensaba que la población en el hemisferio sur era de 5000. Ahora sin depredadores y con abastecimiento abundante de alimentos, se espera que la población crezca exponencialmente de acuerdo con la fórmula