FUNCIÓN CUADRÁTICA

La forma general de una función cuadrática es f ( x ) = ax 2 + bx + c . La gráfica de una función cuadrática es una parábola , un tipo de curva de 2 dimensiones.

La parábola "básica", y = x 2 , se ve así:

ejercicios:

Representa gráficamente la función f cuya ecuación es
f(x) = x² – 4x – 5.

Solución:

Como la función viene dada por una ecuación de la forma
 y = ax² +bx +c, para dibujar el gráfico:

• Determinas las coordenadas del vértice:
  • Para hallar la abscisa del vértice utilizas la fórmula =
    De la ecuación se obtiene que a = 1, b = – 4 y c = – 5.
    = 
  • La ordenada del vértice se calcula sustituyendo laobtenida en la ecuación.
    = 2² – 4.2 – 5 = 4 – 8 – 5 = – 9
  El vértice tiene coordenadas V(2 ; – 9).
• Hallas los ceros:
  Los ceros se determinan mediante la descomposición factorial.
  x² – 4x – 5 = 0 (Igualas a cero la ecuación)
  (x – 5)(x + 1) = 0 (Factorizas el trinomio)
  x – 5 = 0 o x + 1= 0 (Igualas a cero cada factor)
  x = 5 o x = – 1 (Despejas la x)
• Hallas el intercepto con el eje "y":
  Se halla sustituyendo en la ecuación la x por cero y realizando las operaciones indicadas.
  y = 0² – 4.0 – 5 = – 5
  Observa que cuando la ecuación está escrita en la forma y = ax² + bx + c, el intercepto coincide con el valor de c, por lo que no es necesario calcularlo.

Ahora, ubicas cada valor hallado en el sistema de coordenadas y trazas la parábola.

2.-Representa gráficamente la función g cuya ecuación es g(x) = (x – 1)² – 9.

Solución:

En este ejercicio la función viene dada por una ecuación de la forma y = (x +d)² +e

• Determinas las coordenadas del vértice:
  Recuerda que en esta forma de ecuación, el vértice es V(– d ; e).
  V(1 ; – 9)
• Calculas los ceros:
  (x – 1)² – 9 = 0 (Igualas a cero la ecuación)
  Para calcular los ceros puedes proceder de dos formas:
  Primera forma:
  Expresas la ecuación en la forma y = ax² + bx + c.
  x² – 2x + 1 –  9 = 0 (Efectúas el cuadrado del binomio)
  x² – 2x –  8 = 0 (Reduces los términos semejantes)
  (x – 4)(x + 2) = 0 (Factorizas)
  x – 4 = 0 o x + 2 = 0 (Igualas a cero cada factor)
  x = 4 o x = – 2 (Despejas x)
  Segunda forma:
  Factorizas la expresión como una diferencia de cuadrados.
  (x – 1)² – 9 = 0
  (x – 1 – 3)(x – 1 + 3) = 0 (Factorizas la diferencia de cuadrados)
  (x – 4)(x + 2) = 0 (Reduces los términos semejantes)
  x – 4 = 0 o x + 2 = 0 (Igualas a cero cada factor)
  x = 4 o x = – 2 (Despejas la x)
• Hallas el intercepto con el eje "y":
  Se halla sustituyendo en la ecuación la x por cero.
  y = (0 – 1)² – 9 = (– 1)² – 9 = 1 – 9 = – 8

Ahora, ubicas cada valor hallado en el sistema de coordenadas y trazas la parábola.

3.-Sea la función g de ecuación g(x) = x² + bx + c. Conociendo que g(– 1) = – 6 y g(2) = – 12, escribe la ecuación de la función g.

Solución

De la ecuación se infiere que a = 1. Luego, debes buscar los valores de b y c.

De g(– 1) = – 6 se obtiene que x = – 1, y = – 6

De g(2) = – 12 se obtiene que x = 2, y = – 12

Sustituyes estos valores en la ecuación y formas un sistema de dos ecuaciones con dos variables:

– 6 = (– 1)² – b + c

– 12 = 2² + 2b + c

Organizas el sistema y lo resuelves:

.

R/ La ecuación de la función g es g(x) = x² – 3x – 10.

algunos problemas: 

1.Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de los V_o pies / seg. Su distancia S (t), en los pies, por encima del suelo está dada por 

S (t) = -16t ² + v _o t
Buscar V_o de manera que el punto más alto que el objeto puede alcanzar es de 300 pies sobre el suelo. 

Solución del Problema 

1. S (t) es una función cuadrática y el valor máximo de S (t) es dada por 
   k = c - b ² / 4a = 0 - (V_o) ² / 4 (-16) 
   
   
2. Este valor máximo de S (t) tiene que ser de 300 pies para que el objeto de llegar a una distancia máxima desde el suelo de 300 pies. 
   - (V_o) ² / 4 (-16) = 300 
   
   
3. ahora resolvemos - (V_o) ² / 4 (-16) = 300 
   V _o = 64 * 300 = 80sqrt (3) pies / seg.

La gráfica de S (t) para V _o = 64 * 300 = 80sqrt (3) pies / seg se muestra a continuación. 

2.  la publicidad (en miles de dólares) de una empresa está dada por. 

P (x) = 5000 + 1000x - 5x ²
donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad. 

1. Encuentre la cantidad, x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio. 
   
   
2. Encuentra el máximo beneficio Pmax.

Solución del Problema 

1. P Función que le da el beneficio es una función cuadrática con el coeficiente líder de -5 =. Esta función (sin fines de lucro) tiene un valor máximo en x = h = -b/2a 
   x = H = -1000 / 2 (-5) = 100 
2. La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en publicidad, está dada por el valor máximo de la función P 
   k = c - b ² / 4a 
   
   
3. La ganancia máxima Pmax, cuando x = 100 miles se gasta en la publicidad, también está dada por P (h = 100) 
   P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) ² = 55000. 
   
   
4. Cuando la empresa gasta 100 mil dólares en publicidad, el beneficio es máximo y es igual a 55.000 dólares.
5. Abajo se muestra la gráfica de P (x), observe el punto máximo, el vértice, en (100, 55000).