FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:

Es la inversa de la función exponencial   f(x) = a^x

Las características generales de las funciones logarítmicas son:

1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos:    Dom(f) = (0. + ∞) .

2) Su recorrido es R:    Im(f) = R .

3) Son funciones continuas.

4) Como   log_a1 = 0 , la función siempre pasa por el punto   (1, 0) .

 La función corta el eje X en el punto   (1, 0)   y no corta el eje Y.5) Como   log_aa = 1 , la función siempre pasa por el punto   (a, 1) .6) Si   a > 1   la función es creciente.

    Si   0 < a < 1   la función es decreciente.

7) Son convexas si   a > 1 .

    Son concavas si   0 < a < 1 .

8) El eje Y es una asíntota vertical.

• Si  a > 1 : 
  Cuando x → 0 ⁺ , entonces log _a x → - ∞


• Si  0 < a < 1 :
  Cuando x → 0 ⁺ , entonces log _a x → + ∞

algunos ejemplos:

1.-Representa gráficamente f. cuya ecuación es f(x) = log₂(x + 1) – 1.

Solución:

Para representar gráficamente esta función:

• Determinas su asíntota vertical: x = – 1.
  La asíntota vertical pasa por el valor que hace cero al argumento, en este caso – 1.
• Calculas su cero:
  log₂(x + 1) – 1 = 0 (Igualas la ecuación a cero)
  log₂(x + 1) = 1 (Transpones el – 1)
  x + 1 =2¹ (Aplicas la definición de logaritmo)
  x = 1 (Despejas x)
• Hallas el intercepto de la gráfica con el eje "y":
  y = log₂(0 + 1) – 1 (Sustituyes x por cero en la ecuación)
  y = log₂1 – 1 (Efectúas los cálculos indicados)
  y = 0 – 1
  y = – 1

2.-Representa gráficamente y di las propiedades de la función h cuya ecuación es h(x) = .

Solución:

Para representar gráficamente esta función:

• Determinas su asíntota vertical: x = – 3.
  La asíntota vertical pasa por el valor que hace cero al argumento, en este caso – 3.
• Calculas su cero:
   (Igualas la ecuación a cero)
   (Transpones el 1)
   (Aplicas la definición de logaritmo)
  x + 3 = 3 (Calculas la potencia)
  x = 0 (Despejas x)
• Hallas el intercepto de la gráfica con el eje "y":
  (Sustituyes x por cero en la ecuación)
   . (Realizas los cálculos indicados)
  y = – 1 + 1
  y = 0

Trazas la asíntota vertical, ubicas los puntos hallados en el sistema de coordenadas y trazas la curva.

3.-En el sistema de coordenadas aparece la representación gráfica de una función de la forma f(x) = log5(x + a) + b con dominio.

a) Escribe su ecuación.

b) Determina el conjunto imagen.

c) Analiza su signo.

d) Halla su valor máximo.

• Solución a): Escribe su ecuación.
  De la gráfica se obtiene que a = 1.
  Para hallar el valor de b, sustituyes el punto de coordenadas (4 ; 0) dado en la gráfica y resuelves la ecuación obtenida:
  0 = log₅(4 + 1) + b
  0 = log₅5 + b
  0 = 1 + b
  b = – 1.
  R/ La ecuación de la función es f(x) = log₅(x + 1) – 1.

• Solución b):Determina el conjunto imagen.
  Para hallar el conjunto imagen debes analizar la proyección de la gráfica sobre el eje "y". En este caso se proyecta desde – ∞ hasta 0. luego, el conjunto imagen es.

• Solución c) Analiza su signo.
  La gráfica está por debajo del eje "x", o sea, es negativa para – 1 < x < 4.

• Solución d) Halla su valor máximo.
  En este caso, la función tiene valor máximo y = 0, ya que la mayor de las ordenadas de su conjunto imagen es 0.

Problemas :

1.-Las estrellas se clasifican en categorías de brillo llamadas magnitudes. A las estrellas más débiles (con flujo luminoso ) se les asigna magnitud 6. A las estrellas más brillantes se les asigna magnitud conforme a la fórmula:

en donde  es el flujo luminoso de la estrella.

a) Determina la magnitud  si el flujo luminoso de la estrella es 

b) Escribe la función que nos da el flujo luminoso  dependiendo de la magnitud  y del flujo luminoso .

c) ¿Qué luminosidad tendrá una estrella de primera magnitud?

Será 100 veces más luminosa que las estrellas más débiles.

2.-El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrito del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con 1 grano de trigo. a)¿Cuántos granos habrá que poner en el último cuadrito? b)¿En que escaque habrá que colocar 4194304 granos de trigo?

SOLUCIÓN:

a_n=a₁.r^n-1

a_n=valor del termino en general

a₁=valor del primer numero

r=razón de progresión

n=número de términos

datos:

escape(cuadritos) 1,2,3,4 ………… 64

granos de trigo      1,2,4,6 ………. a_n

el número de trigo es una progresión geométrica a₁=1, r=2, el número de n términos corresponde al número de cuadritos, hay 64 en total.

a) ¿Cuántos granos habrá que poner en el último cuadrito?

a₆₄=?

a_n=a₁.r^n-1

a₆₄=1.2^64-1       =        a₆₄=2⁶³granos de trigo

b) ¿En qué escaque Habrá que poner 6194304granos de trigo?

A_n=6194304 granos de trigo

Primero tenemos que despejar n con la fórmula de logaritmos